在处理这个问题时，首先应当确保夫妻双方达成共识，意见一致地决定把房屋赋予他们的子女。
为此，建议签署正式的离婚协议书以明确告知此事宜。
在监管方面，可以通过友好协商来确定由直接负责照顾孩子的一方进行监管，或者选择共同监管。
为了保证房产能够顺利地转让给孩子，我们强烈建议尽快办理相关的法律手续。
然而，需要特别注意的是，如果房屋仍有尚未偿还的贷款，这可能会对转让过程产生不利影响。
此外，如果其中一方存在隐瞒或转移财产等不当行为，那么这份协议很可能被判定为无效。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十七条
离婚时，夫妻的共同财产由双方协议处理；协议不成的，由人民法院根据财产的具体情况，按照照顾子女、女方和无过错方权益的原则判决。
对夫或者妻在家庭土地承包经营中享有的权益等，应当依法予以保护。