在处理工程监理合同争议的过程中，首选应当采取和平解决方式，如调解、谈判与和解等方法来化解纷争。如果双方无法达成共识，可考虑寻求第三方的协助，以公平公正的原则进行协商，以期达成满意的解决方案。若协商无果，则应依据工程监理合同中的相关规定，将争议提交给指定的仲裁机构进行裁决，或者向有管辖权的人民法院提起诉讼。

《民法典》第五百七十七条当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。