针对离婚诉讼中涉及到债务问题未能按期偿还的纠纷解决过程，首先应当着手准备起诉书及相关事实材料，并向具有管辖权的法院提交诉讼申请。
在法院正式受理案件之后，将会组织当事人进行调解工作；
若调解无果，则将进入审判阶段并作出相应的判决结果。
整个处理流程主要涵盖了立案、送达、庭审等多个环节。
至于诉讼费用的承担问题，通常是由败诉方承担，然而在某些特殊情形下，也可能由双方共同分摊。

《诉讼费用交纳办法》第二十九条
诉讼费用由败诉方负担，胜诉方自愿承担的除外。
部分胜诉、部分败诉的，人民法院根据案件的具体情况决定当事人各自负担的诉讼费用数额。
共同诉讼当事人败诉的，人民法院根据其对诉讼标的的利害关系，决定当事人各自负担的诉讼费用数额。