关于私下写的孩子抚养权协议的有效性，在符合特定条件时是被认可的，以下为您详细分析：
一、主体适格
签订协议的双方，必须是具备完全民事行为能力的孩子父母或者其他依法享有监护权的人员。
这意味着他们能够清晰地理解协议内容，独立地做出具有法律效力的决策。
例如，父母双方都应当心智健全，能够对孩子的抚养问题进行理性的思考和判断。
二、真实意思表示
协议的内容必须是双方真实意愿的反映，不存在任何欺诈、胁迫等不正当情形。
也就是说，双方在签订协议时，是在平等、自愿的基础上，经过充分的沟通和协商，真实地表达了自己对于孩子抚养权相关问题的想法和态度。
三、不违反法律法规和公序良俗
协议内容不能与法律的强制性规定相冲突，尤其要保障孩子的合法权益。
孩子的基本生活、教育、医疗等权利必须得到切实保障。
比如，不能因为协议的约定而使孩子失去接受教育的机会，或者无法获得必要的医疗救治。
四、内容明确具体
协议应清晰、明确地约定抚养权的归属问题，同时对探视权的行使方式和具体时间，以及抚养费的支付标准和支付方式等事项做出详细规定。
这样可以避免日后因约定不明而产生纠纷。
若协议满足上述条件，通常是有效的。
不过，若后续出现重大变化，如一方抚养条件恶化或孩子意愿改变等，可通过法律途径变更抚养权。

案情回顾:

小朱和小李私下签订了孩子抚养权协议，约定孩子归小朱抚养，小李有探视权并需支付抚养费。但之后小李认为小朱在签订协议时存在欺诈行为，且协议对探视时间约定不明，质疑协议有效性，双方产生争议。

案情分析:

1、主体适格方面，若小朱和小李均具备完全民事行为能力，能对抚养问题理性思考判断，则主体适格。
2、真实意思表示上，若小李主张的欺诈行为属实，那么协议可能因非双方真实意愿而无效；若无证据证明欺诈，协议在此方面有效。
3、协议内容若保障孩子合法权益，不违反法律法规和公序良俗则有效，反之无效。
4、内容明确具体方面，探视时间约定不明易产生纠纷，影响协议效力。若满足相关条件协议有效，出现重大变化可变更抚养权。