变更孩子抚养权的手续和所需证件，主要分为以下两种情况：
一、协议变更
手续方面：当双方就孩子抚养权变更事宜达成一致意见后，应当签订一份书面的抚养权变更协议。
这份协议需要清晰明确地写明双方关于抚养权变更的具体约定，例如抚养方式、探视安排等内容，以确保双方的权益和孩子的生活安排都能得到妥善的规定。
证件要求：双方需准备好各自的身份证，用于证明自身身份；户口簿，显示家庭关系等信息；离婚证（若是协议离婚），或者离婚判决书、调解书（若是诉讼离婚）；孩子的出生证明，以证实与孩子的亲子关系。
协议签订后，双方可依照协议内容自行履行相关约定。
如果涉及孩子户口迁移等情况，还需持相关证件和协议到户籍管理部门办理相应手续。
二、诉讼变更
手续流程：若双方无法通过协商达成一致，一方可向有管辖权的法院提起变更抚养权的诉讼。
起诉方需要认真撰写起诉状，详细说明变更抚养权的原因和诉求，并提交相关证据等材料。
法院在受理案件后，会按照法定程序进行审理，综合考虑各种因素后作出公正的判决。
证件准备：起诉方要准备自己的身份证、户口簿、离婚证（或离婚判决书、调解书）、孩子的出生证明。
此外，还需准备能证明对方不适合继续抚养孩子或者自己更有利于抚养孩子的证据材料，
案情回顾:

小朱和小李离婚后，孩子抚养权归小李。后小朱认为小李工作繁忙无暇照顾孩子，想变更抚养权。双方起初协商，在探视安排等问题上产生争议；协商无果后，小朱决定向法院起诉，主张自己更适合抚养孩子，小李则表示自己能照顾好孩子，双方争执不下。

案情分析:

1、协议变更方面，若双方能就抚养方式、探视安排等达成一致，签订书面变更协议，并准备好身份证、户口簿等相关证件，按协议履行即可，涉及户口迁移还需到户籍部门办理手续。
2、诉讼变更方面，小朱起诉需写好起诉状说明诉求和原因，并提交证据。法院会综合考虑双方情况，如小朱能否证明小李不适合抚养或自己更有利抚养等因素后作出判决。