打人逃跑后的法律责任，关键还是要看打人所造成的后果，经鉴定达到轻伤以上的，追究刑事责任，涉嫌故意伤害罪。属于轻微伤的、不构成伤情的、或者不要求做鉴定的，按照治安案件处罚。
一、具体如下：
1、如果当事人造成对方轻微伤，可能需要承担行政处罚。一般处最低五日、最高十日的拘留，且可并处200元以上500元以下罚款。
2、如果造成对方轻伤的，就需要承担一定的刑事责任，一般处最高三年有期徒刑。
3、如果造成对方重伤的，一般处三年以上十年以下有期徒刑。
4、如果致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，一般处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
二、侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。

《中华人民共和国刑法》第二百三十四条
故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。
《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条
殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
有下列情形之一的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款：
(一)结伙殴打、伤害他人的；
(二)殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人的；
(三)多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。