倘若家庭成员由于追索债务而采取爬楼方式进行维权，最终遭受刑事拘留的处罚，那么依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条之规定，该家庭成员可视为犯罪嫌疑人或被告的近亲家属，他们有权代理委托辩护律师。
为此，家人应该尽快通知负责审理此案的司法机构，并请求委派辩护律师。
当辩护律师接受委托之后，他们有责任告知审案机关于此事。
与此同时，家人们亦有权利向审理案件的司法机构提出明确要求，由其妥善传递委托辩护律师的请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条
犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；
在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。