被告人在取保候审期间历经37个自然日的期限时，是否会收到相关通知，这主要取决于具体案件的复杂程度以及办案机构的工作流程安排。
通常情况下，当现有的刑事拘留期限最长达到37天，若经检察机关审核未予批准逮捕，公安机关应在接获此通知后，立即释放犯罪嫌疑人，并将执行情况及时通报给人民检察院。
而对于那些仍需进一步调查取证，且符合取保候审条件的被告人，则依法予以取保候审。
根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》的明确规定：公安机关在对已被拘留的被告人进行审查后，如认为其需要逮捕，应在拘留期限届满前的三日内，向人民检察院提出申请，请求其进行审查批准。
在某些特定情形下，申请审查批准的期限可适当延长一日至四日。
对于那些流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑分子，申请审查批准的期限则可延长至三十日。
人民检察院在接到公安机关提交的批准逮捕申请书后，应在七日内作出批准逮捕或不予批准逮捕的决定。
若人民检察院未能批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放被告人，同时将执行情况及时告知人民检察院。
对于那些需要继续侦查，且符合取保候审、监视居住条件的被告人，则依法予以取保候审或监视居住。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十七条
【变更强制措施申请人】犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权申请变更强制措施。人民法院、人民检察院和公安机关收到申请后，应当在三日以内作出决定；不同意变更强制措施的，应当告知申请人，并说明不同意的理由。