根据我国现行的法律法规，对于被执行刑事拘留的人员，其最长期限通常被设定为37日，这其中涵盖了侦查机关向司法部门提出批准逮捕请求的期限。若在此期间未能获得司法部门的批准逮捕令，则该嫌疑犯有可能被释放，或者接受其他强制性措施如取保候审等。
然而，能否成功取得取保候审的资格，需要综合考虑的因素包括嫌疑犯所涉嫌的罪行情况、其对社会构成的潜在危害等方面，并确保其满足《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条中所规定的各项条件。因此，当刑事拘留期限达到35天时，若符合上述取保候审的相关要求，那么便可依法申请取保候审。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条：
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。