若在职工遭受工伤期间，该名工人不幸遭到刑事拘留或逮捕时，其近亲属有权依据相关法规，向公安机构、检察机关或者审判机关提出取保候审申请。
根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》之规定，申请取保候审应向上述三类司法机关进行提交。除了递交申请外，申请人还需提供相应的证明文件，例如身份证明文件、与其被申请人之间的亲属关系证明文件，以及能够证明被申请人涉嫌犯罪行为的相关证据资料等等。倘若满足所有条件，法院或检察院将有权力决定是否对被申请人实施取保候审措施。在此过程中，申请人必须严格遵守相关法律规定，不得干扰证人作证，不得伪造、销毁证据，也不得进行串供等违法行为。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。