若您在申请保险索赔过程中遭遇对方拒绝或者延迟支付的困境，您可考虑采取以下几种策略来解决问题：
首先，请务必认真研读您所购买的保险合同中的各项条款，明确自身的权利以及应尽的责任。
在此基础上，可尝试与保险公司展开积极的沟通及协商，并尽可能提供充分且有力的证据以及相应材料以支撑您的理赔诉求。
其次，若经过协商仍无法达成共识，您有权向该保险公司的客户服务中心或者相关部门进行投诉，要求他们给出处理意见，同时妥善保存所有相关投诉证据。
再次，若投诉未能得到满意回应，您还可以选择向保险行业的监管机构进行投诉或者申诉，请求他们介入调解或者做出裁决。
这些保险监管机构主要包括中国保险监督管理委员会及其派出机构、保险行业协会以及保险公估机构等等。
最后，若以上所有措施均告失败，您仍然有权利向当地人民法院提起诉讼，通过法律手段来捍卫您的合法权益。

《保险法》第十七条：保险人收到投保人或者被保险人的理赔通知书和与之有关的证明文件后，应当及时核实，对属于保险责任范围内的赔偿事项在规定期限内给付保险金。