驾驶员交通肇事逃逸有可能构成犯罪，可能构成交通肇事罪。
一、交通肇事罪构成要件：
1、客体要件，本罪侵犯的客体，是交通运输的安全。
2、客观要件，本罪客观方面表现为在交通运输活动中违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受大损失的行为。
3、主体要件，本罪的主体为一般主体。
4、主观要件，本罪主观方面表现为过失，包括疏忽大意的过失和过于自信的过失。
二、交通肇事罪量刑标准：
1、违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；
2、交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；
3、因交通运输肇事后逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。

《中华人民共和国刑法》第一百三十三条
违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。