在离婚后寻求分割居住期间的抚养费用时，您首先应当做好充分的证据筹备工作，例如获取到对方未能承担相应抚养责任的明确证明文件，以及孩子日常生活所需开销方面的具体票据等关键材料。
接着，便可依法向对方现今居住之地所属的基层人民法院提交上诉申请。
在诉讼进行期间，请务必详细阐述对方未能履行支付抚养费用的事实真相，同时也需明确说明孩子的实际需求状况及您自身所面临的经济困境。
随后，法院将依据案情复杂程度对被告上诉请求予以全面细致的审理与裁判。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。