孩子在学校里遭遇被推倒并摔掉牙齿这种情况，是可以向学校和侵权方两方进行索赔的。
从学校方面来讲，如果学校在对孩子的教育以及管理方面没有尽到应尽的职责，从而致使孩子受伤，那么学校就应当承担起相应的责任。
首先可以尝试与学校进行友好协商，向学校提出要求其赔偿医疗方面的费用，像补牙的费用以及后续可能需要的治疗费用，还有为了孩子身体恢复而需要的营养费等。
要是协商的过程不顺利，无法达成一致意见，那么就可以向教育行政部门进行投诉，借助相关部门的力量来促使学校承担责任；或者也可以通过诉讼的途径来解决问题，让法律来判定学校应承担的赔偿责任。
从侵权方的角度来看，如果能够确定是其他孩子将自己推倒而导致受伤，那么就可以要求这个孩子的监护人承担赔偿责任，赔偿的范围和学校应承担的责任部分是相同的。
在这个过程中，一定要妥善保留好相关的证据，比如现场拍摄的照片，能够清晰地展示事发时的场景；还有证人的证言，他们可以证明侵权的事实以及孩子所遭受的损失情况等。
总之，在面对孩子在校被推倒摔掉牙齿这种事情时，一定要冷静分析具体情况，灵活运用各种法律手段，坚决维护孩子的合法权益。

案情回顾:

小朱在学校被小李推倒，摔掉牙齿。小朱家长向学校和小李监护人索赔，学校认为自身已尽管理职责无需担责，小李监护人也否认小李存在故意推搡行为，双方产生争议。

案情分析:

1、对于学校而言，若其在教育、管理上确未尽责，如事发时老师不在场等，导致小朱受伤，应承担相应赔偿责任，包括医疗、营养等费用。
2、若能证实是小李推倒小朱，小李监护人需担责。小朱家长应保留好现场照片、证人证言等证据，若协商不成，可投诉或诉讼维权。