放弃孩子抚养权通常会在一些特定情况下发生，主要有以下几种常见情况及对应的方式：
一、协议放弃
1.离婚时的协商放弃：当夫妻感情破裂走向离婚时，双方会就孩子抚养权问题进行协商。
若一方基于各种原因，如自身工作繁忙无法全身心照顾孩子、经济条件不足以给孩子良好生活等，经与另一方沟通后，双方达成一致意见。
这时，会签订详细的离婚协议，在协议中明确表明一方自愿放弃孩子抚养权，同时会细致规定抚养费用的具体支付方式，这份协议必须严格符合法律规定，切实保障孩子在成长过程中的各项合法权益。
2.离婚后的协商变更：即使在离婚时已经确定了抚养权归属，但后续情况可能发生变化。
一方主动提出放弃抚养权，另一方表示愿意接收，随后双方签订变更抚养权协议，对孩子的抚养问题重新作出安排。
二、诉讼放弃
在一些特殊情形下，例如一方突然患有严重疾病，丧失了基本的生活自理能力，或者因伤残导致无法为孩子提供必要的生活照顾和教育支持等。
这种情况下，该方可以向法院提起诉讼，请求变更抚养权，并明确表示放弃自己的抚养权。
法院在接到此类诉讼后，会全面、细致地了解具体情况，从最有利于孩子健康成长的角度出发，审慎地作出判决。

案情回顾:

小朱和小李离婚时协商，小朱因工作繁忙放弃孩子抚养权，双方签订离婚协议约定抚养费及探视权。后小朱生活环境改变，想变更抚养权，双方协商不成。小胡突发严重疾病丧失自理能力，向法院起诉放弃孩子抚养权，法院需作出判决，争议点在于抚养权变更是否合理。

案情分析:

1、小朱和小李离婚时协商放弃抚养权，签订的协议只要符合法律规定，保障孩子权益，就是有效的。对于抚养费支付及探视权安排应严格履行。
2、小朱后续想变更抚养权协商不成时，若其能证明自身情况发生重大变化且更有利于孩子成长，可通过诉讼解决。
3、小胡因疾病放弃抚养权，法院会综合考虑其病情对抚养孩子的影响，以及另一方的抚养条件等，以孩子健康成长为原则作出判决。