老人去世后，其财产的继承有着明确的顺序，具体如下：
一、有遗嘱或遗赠扶养协议的情况
遗嘱是被继承人在生前，依据自身意愿对个人财产作出的处分安排。
例如，老人可能会在遗嘱中明确表示，将某套房产留给一直悉心照料自己的小儿子，或者把一部分存款捐赠给某个慈善机构。
遗赠扶养协议则是扶养人与被扶养人签订的关于扶养和财产处分的协议，在这种情况下，遗嘱或遗赠扶养协议的效力优先于法定继承，财产将按照协议或遗嘱的内容进行分配。
二、没有遗嘱或遗赠扶养协议的情况
此时需按照法定继承办理。
法定继承的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。
第二顺序继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，先由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不参与继承；只有在没有第一顺序继承人继承的情况下，才由第二顺序继承人继承。
值得注意的是，同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。
不过，若继承人对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活，可适当多分；而有扶养能力和条件却不尽扶养义务的，应当不分或者少分。

案情回顾:

老人去世，小朱主张按老人遗嘱继承房产，遗嘱写明房产归其所有。但小李称老人立遗嘱时意识不清，遗嘱无效，应按法定继承，自己作为子女也有份，双方就财产继承产生争议。

案情分析:

1、若能证明老人立遗嘱时意识清醒、遗嘱符合法定形式，遗嘱有效，财产应按遗嘱由小朱继承，因遗嘱效力优先于法定继承。
2、若小李主张成立，即遗嘱无效，那么在无遗嘱情况下，应按法定继承办理，小李作为子女属于第一顺序继承人，可参与财产继承，且同一顺序继承人份额一般均等。