这要看投毒者的投毒目的、投毒方式，投毒结果。
如果仅仅是要毒死这只狗，并且不让死狗被人吃了再次中毒，同时这只狗的价值不足5000元，那么就不构成犯罪，否则可能会构成故意毁坏财物罪；
如果投毒的方式上，虽然是针对狗的，但是可能危及公共安全的，如狗肉被人吃了中毒死亡，毒品流向水井、河流、食物，可能造成不确定的多人中毒死亡，则构成投毒罪。

《刑法》第二百七十五条
故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金;数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。