根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，当出现持刀故意伤害他人且导致轻微伤的情况时，通常不会构成犯罪，也就不会被判处刑罚。
然而，这种行为可能会面临治安管理处罚。
具体而言，会被处以五日以上十日以下的拘留，同时并处二百元以上五百元以下的罚款；倘若情节较为轻微，那么则会被处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
倘若持刀砍人行为的情节十分恶劣，像是多次持刀伤人，或者持凶器伤人等情况，就有可能涉嫌寻衅滋事罪等较为严重的罪名，此时将会被判处五年以下的有期徒刑、拘役或者管制。
必须要注意的是，对于具体的法律后果，不能一概而论，而是需要根据案件的具体情况来综合判断。
这些具体情况包括作案的动机、所采用的手段以及造成的后果等因素。
只有司法机关在对这些因素进行全面考量之后，才能准确地确定相应的法律责任和处罚措施。

案情回顾:

小朱与小李在街头发生争执，小朱一时冲动拿出随身携带的刀划伤了小李，经鉴定小李为轻微伤。小朱辩称只是吓唬小李并非故意伤害。警方认为小朱持刀伤人行为恶劣，要对其进行处罚，小朱不服，认为轻微伤不应被处罚。

案情分析:

1、小朱持刀划伤小李致轻微伤，按规定通常不构成犯罪，但应受治安管理处罚。
2、小朱辩称吓唬而非故意伤害，但他持刀划伤小李事实存在，行为存在危险性，警方根据行为恶劣程度进行处罚并无不当。
3、对于此类案件处罚，应综合作案动机、手段和后果等因素，司法机关会准确判定法律责任。