倘若涉案人员被指控犯下盗窃罪行之后，依据相关法律程序，这些嫌疑人将有可能先被公安机关依法拘留，尔后被送往当地的看守所羁押。整个过程的具体步骤如下：首先是刑事拘留环节，当警方经过初步调查和分析，认定该名嫌疑人存在重大犯罪嫌疑时，便有权对其采取拘留措施；其次是侦查阶段，在此期间，警方将全力以赴地展开深入调查工作，搜集各种有力的证据材料；紧接着是提请批准逮捕环节，待到侦查工作告一段落，如果警方认为有必要对嫌疑人实施逮捕，他们将会向检察院提出申请；然后是检察院审查环节，检察院将对逮捕的必要性进行全面审查，并根据实际情况做出是否批准逮捕的决定；最后是逮捕环节，一旦检察院批准了逮捕请求，那么嫌疑人就会被正式逮捕，同时警方也将继续开展进一步的侦查工作。在完成上述所有步骤之后，检察院将向法院提起公诉，而法院则会公开审理此案，最终根据审理结果，依法作出相应的判决。

《中华人民共和国刑事诉讼法》
第十八条刑事案件的侦查由公安机关进行，法律另有规定的除外。
第一百五十四条对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。
第一百六十九条人民检察院对于公安机关移送起诉的案件，应当在一个月以内作出决定，重大、复杂的案件，可以延长半个月。