在当事人遭受到刑事拘留之际，通常由我国公安部门担任送达告知家属的责任。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》之相关规定，公安机关在对犯罪嫌疑人员进行拘留之后，必须在接下来的24个小时之内，向该名嫌疑人的亲属披露拘留的具体情况。
然而，在某些特殊情况下（例如无法联系上嫌疑人的家属或该行为可能会阻碍案件的侦查工作），告知期限可以适当延长。在所有情况下，通知内容都应包含明确扼要的拘留原因以及拘留场所等关键信息。

《中华人民共和国刑事诉讼法》
第八十三条犯罪嫌疑人被拘留后，应当在二十四小时以内，通知被拘留人的家属，但无法通知或者不通知不会影响侦查，且不通知家属可能造成严重后果的除外。