若身陷故意伤害罪的刑事拘留中，按照我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条规定，犯罪嫌疑人自首次接受侦查机构的问询或遭受强制性措施的那刻起，便享有了委托辩护律师的权利。
侦查机关有责任向犯罪嫌疑人告知这一权利，包括其享有聘请辩护律师的权利。
假如在所处监禁期内，犯罪嫌疑人、被告人表达了需要辩护律师的意愿，那么人民法院、人民检察院以及公安机关应及时传达他们的请求。
此外，依据第八十五条规定，公安机关在执行拘留时，必须出具拘留证。
拘留之后，应立即将被拘留者送往看守所关押，最晚不得超过24小时。
除非存在无法通知或涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能妨碍侦查的情况外，公安机关应在拘留后24小时内，通知被拘留者的家属。
因此，一旦面临刑事拘留，应尽快委托辩护律师，并敦促侦查机关严格遵守法律规定，履行通知家属的义务。
辩护律师能够为犯罪嫌疑人提供全方位的法律援助，包括但不仅限于申请取保候审、提出无罪或减轻刑罚的辩护意见等等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条
犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；
在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。