对于涉嫌行贿罪的案件处理机构，通常应为公安部门。这是因为，对于普通的自然人犯罪行为，其调查和取证工作往往也归属公安部门负责。
然而，对于涉及受贿行为的案件，办案的主要机构则通常为国家监察委员会。对于公安部门而言，一旦发现在犯罪嫌疑人身上存在累计行贿金额达到三万元人民币或者特定情形下行贿金额达一万元人民币以上的情况，便可对此进行立案调查。

《刑法》第三百九十条的规定以行贿罪追究刑事责任。
行贿数额在一万元以上不满三万元，具有下列情形之一的，应当依照《刑法》第三百九十条的规定以行贿罪追究刑事责任：
(一)向三人以上行贿的;
(二)将违法所得用于行贿的;
(三)通过行贿谋取职务提拔、调整的;
(四)向负有食品、药品、安全生产、环境保护等监督管理职责的国家工作人员行贿，实施非法活动的;
(五)向司法工作人员行贿，影响司法公正的;
(六)造成经济损失数额在五十万元以上不满一百万元的。