关于取保候审申请事宜，根据相关法律法规，嫌疑犯可在刑事诉讼中的侦查阶段、审查起诉以及审判等各个环节进行申请。
首先是侦查阶段，若某犯罪嫌疑人已经遭到了拘禁，而公安机关依据相应法律认定需要进行逮捕，但在证据收集方面尚显不足，或者该罪犯具备了法定的取保候审资格，那么他的近亲、法定代理人或辩护律师便有权利向司法部门提出取保候审申请。
其次是审查起诉阶段，自人民检察院接收到移送审查起诉的案件资料之日起，必须在三日内通知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。
在此期间，若犯罪嫌疑人正处于羁押状态，他的近亲、法定代理人或辩护律师同样有权提出取保候审申请。
最后是审判阶段，当人民法院受理案件之后，若被告人并未遭到羁押，那么他的辩护人或近亲亦可提出取保候审申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。