关于提请取保候审之申请与立案的完整流程包括以下步骤：首先，嫌疑犯、被告、其合法代表人、直系亲属或辩护律师都有权向负责处理相关案件的司法机关提交取保候审的申请；
申请时应明确阐述申请取保候审的具体理由，例如嫌疑犯或被告身体状况极度虚弱，日常生活无法自理；
孕妇或哺乳期妇女因特殊生理原因，需采取取保候审措施以确保自身及婴幼儿安全等；
然后，司法机关在收到申请之后，应当在七个工作日之内对申请进行审查并作出是否批准的决定；
若批准取保候审，则会要求嫌疑犯或被告提供担保人或缴纳保证金作为保证；
值得注意的是，申请取保候审的最终结果将取决于案件的实际情况以及相关法律法规的具体规定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。