根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条之明文规定，在被羁押者的法定羁押期即将届满之时，而相应案件尚无明确结果，并且该名被告或犯罪嫌疑人有充分必要采取取保候审措施的情况下，可以向相关司法机关提出取保候审的申请。因此，若在犯罪嫌疑人、被告人的法定羁押期结束之后，其所涉案件仍未得到妥善处理，同时满足取保候审的其他所有必备条件，那么他们便有权申请并获得取保候审的批准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。