在实施保释程序的期间，犯罪嫌疑人或被告人如若逃逸，他们所属的单位通常并不承担直接的法律责任。而保释制度乃是刑事诉讼过程中的一种强制性的措施，这一举措的决策权归属于公安机关、人民检察院以及人民法院，其具体实施则需要借助于担保人和缴纳保证金等方式来保障被保释人履行出庭受审的义务。倘若被保释者在保外就医期间选择逃匿，那么他们将要为此承担相应的法律责任。
然而，这项责任主要针对的是个人，并不会对他们所任职的单位产生任何影响。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第七十九条：被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人应当遵守以下规定：(一)未经执行机关批准不得离开所居住的市、县；(二)住址、工作单位和联系方式发生变动的，在二十四小时以内向执行机关报告；(三)在传讯的时候及时到案；(四)不得以任何形式干扰证人作证；(五)不得毁灭、伪造证据或者串供；(六)将护照等出入境证件、驾驶证件交执行机关保存。被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人违反前款规定，已交纳保证金的，没收部分或者全部保证金，并且区别情形，责令犯罪嫌疑人、被告人具结悔过，重新交纳保证金、提出保证人，或者监视居住、予以逮捕。对违反取保候审规定，需要予以逮捕的，可以对犯罪嫌疑人、被告人先行拘留。