若犯罪嫌疑人被处以刑事拘留期为满37日并已达此期限，那么人民检察院应根据实际情况，依法决定是否予以批准逮捕或不予批准逮捕；对于虽未被批准逮捕但仍需进行进一步调查的案件，同时符合法定条件的当事人，可进行取保候审。
具体规定详见《中华人民共和国刑事诉讼法》第89条：
公安机关对于已被拘留的相关人员，如决定要求逮捕，则须在拘留期满的三日内，向上一级人民检察院提出申请，经审批同意后方可执行。
然而，在特殊情况下，其提请审查批准的时间可以适当延长至一天至四天。
针对流窜作案、多次作案及结伙犯案等情节较为严重的犯罪嫌疑分子，提请审查批准的时间可能需要延长至30天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人，认为需求逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审核批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。关于流窜作案、多次作案、结伙作案的严重嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。