当法院对抚养权作出判决后，若对方拒不执行，可通过以下方式妥善处理：
1.申请强制执行：
这是解决问题的主要途径。
当事人可向法院提出强制执行的申请。
法院在接到申请后，会依据相关法律和实际情况，采取多种有力的强制执行措施。
例如，法院可以查询、冻结、划拨被执行人的存款；扣留、提取被执行人的收入；查封、扣押、拍卖、变卖被执行人的财产等。
通过这些措施，迫使对方履行判决内容。
2.罚款、拘留：
对于那些拒不执行生效判决的一方，法院有权对其进行罚款、拘留等处罚。
罚款的金额会根据具体情节和相关规定来确定，拘留则是在一定期限内限制其人身自由。
这种处罚方式旨在给拒不执行者施加压力，促使其尽快履行判决义务。
3.变更抚养关系：
若对方长期拒不执行判决，致使孩子的生活、成长受到严重的不良影响，比如孩子的基本生活需求得不到满足，教育、医疗等权益无法保障，另一方就可以向法院申请变更抚养关系。
法院会综合考虑各种因素，以保障孩子的合法权益为出发点，作出合理的裁决。
4.追究刑事责任：
如果对方的拒不执行行为情节严重，构成拒不执行判决、裁定罪，那么就可能会被依法追究刑事责任。
这是一种较为严重的处罚措施，会对拒不执行者产生极大的威慑作用。
在整个处理过程中，当事人要注意收集对方拒不执行的相关证据，积极配合法院的执行工作，从而有效维护自身和孩子的合法权益。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，法院判决孩子抚养权归小朱，但小李拒不执行判决。小朱申请强制执行，小李仍不配合，还导致孩子基本生活受影响。小朱想变更抚养关系，且怀疑小李行为构成犯罪，争议点在于小李行为是否达到追究刑事责任程度。

案情分析:

1、小朱申请强制执行合理合法，法院应按规定采取如查询、冻结存款等措施，强制小李履行判决。
2、若小李持续不配合，法院可对其进行罚款、拘留，以促使其履行义务。
3、鉴于孩子生活受影响，小朱申请变更抚养关系，法院应综合考量后作出保障孩子权益的裁决。
4、若小李行为情节严重，构成拒不执行判决、裁定罪，应依法追究其刑事责任。