在此情形之下，您有权选择向法院提起诉讼，请求重新分配原有的家庭财产并且请求获得相应的补偿损失费用。
由于对方已经在婚姻存续期间作出了背叛婚姻关系的行为——与他人育有私生子女，这严重违反了夫妻之间的尊重及信任原则，因此在进行财产分割的时候，他们理应受到相应的惩罚，即被减少或者完全不被分配到家庭财产之中。
为支持您的请求，您需要充分准备相关的证据材料，包括但不仅限于能够证明对方存在出轨和生育子女行为的确凿证据以及相关的证人证言等等。

《中华人民共和国民法典》第一千零九十一条
有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：
（一）重婚；
（二）与他人同居；
（三）实施家庭暴力；
（四）虐待、遗弃家庭成员；
（五）有其他重大过错。