夫妻一方死亡后，其债务的承担问题需要根据不同情况进行具体分析，具体如下：
一、夫妻共同债务的承担
在夫妻关系存续期间，有些债务是为了满足夫妻共同生活需要而产生的，这就属于夫妻共同债务。
常见的情况包括为家庭日常生活需要所负的债务，比如购买家庭生活用品、支付水电费等；还有夫妻双方共同签名或者夫妻一方事后追认等共同意思表示所负的债务。
对于这类夫妻共同债务，生存一方应当对婚姻关系存续期间的共同债务承担连带清偿责任。
这是因为这些债务是夫妻双方共同生活所产生的，生存一方也从中受益，所以有义务进行偿还。
二、个人债务的承担
如果债务是一方在结婚前所欠下的，或者是婚后以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，并且债权人无法证明该债务是用于夫妻共同生活、共同生产经营或者是基于夫妻双方共同意思表示的，那么这种债务就属于个人债务。
对于个人债务，应当由死亡一方的遗产来进行偿还。
当遗产不足以清偿全部债务时，剩余未清偿的部分，债务就此消灭。
也就是说，债权人不能再要求生存一方或者其他人来偿还这部分债务。

案情回顾:

小朱和小李是夫妻，小朱去世后留下一些债务。其中部分是夫妻共同生活期间为家庭日常开销所欠，部分是小朱婚前个人所欠。债权人要求小李偿还所有债务，小李认为应区分债务性质来承担，双方产生争议。

案情分析:

1、对于夫妻共同生活期间为家庭日常开销所欠债务，属于夫妻共同债务。因是夫妻共同生活产生且双方受益，小李作为生存一方，应当对这部分债务承担连带清偿责任。
2、小朱婚前欠下的债务属于个人债务，应由小朱的遗产来偿还。若遗产不足以清偿，剩余未清偿部分债务就此消灭，债权人不能要求小李偿还这部分。