通常来讲，当私人医院没有按照合同所规定的那样履行治疗义务，又或者没能达成约定的治疗效果，使得患者的疾病没能被治这时候患者是有权利要求医院退还一部分费用的。
不过这里有个关键，那就是患者得能够证明医院存在过错或者违约的行为，并且要证明这种行为与疾病没被治好之间是存在着因果关系的。
与此同时，还得依据双方所签订的医疗服务合同以及其他相关的文件，来明确退款的具体比例以及方式到底是怎样的。
要是双方在退款这件事情上无法达成一致意见，那么就可以通过协商、调解或者诉讼等这些途径去解决。
总之，患者在想要主张退款的时候，一定要妥善保留好相关的证据，像是病历、医疗费用的单据之类的，只有这样才能更好地维护自己的合法权益。