双方私下收养孩子是违法的，因为收养孩子需要办理收养手续，如果不办理收养手续是违法的。
法律规定收养孩子应当向县级以上人民政府民政部门登记；如果收养查找不到生父母的未成年人的，办理登记的民政部门应当在登记前予以公告。
除了办理收养手续，收养人还需要满足下列条件才可以收养孩子：
（一）无子女或者只有一名子女；
（二）有抚养、教育和保护被收养人的能力；
（三）未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病；
（四）无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录；
（五）年满三十周岁。

《民法典》第一千一百零五条
收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。收养查找不到生父母的未成年人的，办理登记的民政部门应当在登记前予以公告。
收养关系当事人愿意签订收养协议的，可以签订收养协议。收养关系当事人各方或者一方要求办理收养公证的，应当办理收养公证。县级以上人民政府民政部门应当依法进行收养评估。