在法律范畴内，是可以通过起诉的方式要求女方支付抚养费的。
《民法典》明确规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。
当女方丢下孩子不管时，这显然违背了她应尽的抚养义务。
在起诉过程中，务必准备好充分的相关证据。
首先，孩子的出生证明是不可或缺的，它能证明孩子的身份以及与女方的亲子关系。
其次，双方的身份信息也是必要的，这有助于明确诉讼主体。
再者，女方丢下孩子不管的相关证据，比如邻居的证言、相关监控录像等，这些都能有力地证明女方的行为。
然后，将这些材料提交给有管辖权的法院，向法院提起诉讼，请求法院判令女方支付抚养费。
通常情况下，抚养费是以月为单位来确定数额的，法院会综合考虑女方的收入情况、当地的生活水平等因素，以此来判定一个合理的抚养费金额。
法院会依据具体的案件情况进行严格审理。
如果女方确实存在丢下孩子不管的行为，那么法院一般会依法判决其支付抚养费，通过这种方式来切实保障孩子的合法权益，让孩子能够在良好的环境中成长。

案情回顾:

小朱和小丽育有一未成年子女。小丽丢下孩子不管，小朱认为这违背了小丽的抚养义务。小朱欲起诉小丽支付抚养费，他准备了孩子出生证明、双方身份信息，还搜集了邻居证言和监控录像等小丽不管孩子的证据，向有管辖权的法院提起诉讼。

案情分析:

1、依据《民法典》，父母对未成年子女有抚养义务，小丽丢下孩子不管可能违背该义务。
2、小朱准备的证据充分，出生证明可证亲子关系，身份信息明确主体，邻居证言和监控录像可证小丽不管孩子的事实，这对诉讼有利。
3、法院会综合考虑小丽收入和当地生活水平等因素判定抚养费数额。