继承人在继承相关事务中，需要承担多方面的责任，具体如下：
一、清偿被继承人债务的责任
继承人要在继承遗产的实际价值范围内，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务进行清偿。
这意味着，当被继承人生前存在诸如未偿还的贷款、未缴纳的税款等经济债务时，继承人在接受遗产后，需以所继承遗产的价值为限来偿还这些债务。
例如，若被继承人留下一套价值100万元的房产，同时有30万元的贷款未还，继承人继承该房产后，就需从房产价值中拿出30万元用于偿还贷款。
而若继承人明确表示放弃继承，那么对于被继承人依法应当缴纳的税款和债务，就无需承担偿还责任。
二、遗产管理和保护的责任
在整个继承过程中，继承人有责任对遗产进行妥善的管理和保护。
这包括采取合理措施防止遗产遭受自然因素或人为因素导致的损失、损毁，比如对易腐坏的物品进行妥善保存，对房屋等不动产进行定期维护等。
同时，还要防止遗产被他人非法侵占，保障遗产的安全。
三、尊重遗嘱和法定继承顺序的责任
继承人应严格按照被继承人的合法遗嘱或者法定继承顺序进行继承，不得擅自篡改或违反相关规定。
若存在多个继承人，彼此之间需要相互协商，秉持公平合理的原则分配遗产，避免因遗产分配问题产生纠纷。

案情回顾:

小朱去世后留下一套价值80万的房产和20万债务，其遗嘱指定小李继承。小胡认为自己也有继承权，想参与分配，且小李未及时偿还债务，也未对房产进行维护导致部分损坏，引发争议。

案情分析:

1、关于债务清偿，小李作为遗嘱指定继承人，应在继承房产的实际价值范围内清偿20万债务，若放弃继承则无需承担。
2、在遗产管理方面，小李有责任对房产进行妥善维护，因其未履行该责任导致房产损坏，应承担相应后果。
3、对于继承顺序，应尊重遗嘱，小胡若无法定特殊情形，不能违背遗嘱参与房产分配，多个继承人应协商分配，避免纠纷。