在这个情况下，你仍然有资格申请和使用银行卡，这并不会因为上述情况而受到限制或影响。
可以参考相应的法律文件，如《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，其中明确指出，如果犯罪当事人在实施犯罪行为的时候还未满十八岁，并且所面临的刑事处罚是五年有期徒刑以下的有期徒刑、拘役，那么司法机关会将相关的犯罪记录进行封存，不可向其他任何单位以及个人公开，但是少数情况仍然可以例外，例如司法机关为了办案需要或者相关单位根据国家规定进行调查查询时。
对于在这种授权下进行查询的单位，他们必须对已经封存的犯罪记录进行严格的保密处理。
另外，最高人民法院、最高人民检察院、公安部、国家安全部以及司法部联合颁发的《关于建立犯罪人员犯罪记录制度的意见》也对此作出了详尽的阐述与规范。
根据该指导意见，犯罪记录其实就是国家专门机关针对犯罪人员的各种信息进行客观记录的档案材料。
总的来说，犯罪记录制度是现代社会管理体系中的重要组成部分，它对于推动我国社会积极向上、持续进步乃至维护社会稳定、促进社会和谐方面都有着极为重要的职能与意义。
基于这样的背景，我们现在提出要全面建立我国犯罪人员犯罪记录制度并由这项制度引领扫除相关障碍，以此来迎接新的历史时期经济社会的发展建设，从而更好地推动我国社会管理创新，最后为我国经济腾飞、社会进步、繁荣昌盛做出更大贡献。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百八十六条
犯罪的时候不满十八周岁，被判处五年有期徒刑以下刑罚的，应当对相关犯罪记录予以封存。
犯罪记录被封存的，不得向任何单位和个人提供，但司法机关为办案需要或者有关单位根据国家规定进行查询的除外。依法进行查询的单位，应当对被封存的犯罪记录的情况予以保密。
最高人民法院最高人民检察院公安部国家安全部司法部《关于建立犯罪人员犯罪记录制度的意见》犯罪记录是国家专门机关对犯罪人员情况的客观记载。犯罪记录制度是现代社会管理制度中的一项重要内容。为适应新时期经济社会发展的需要，进一步推进社会管理创新，维护社会稳定，促进社会和谐，现就建立我国犯罪人员犯罪记录制度提出如下意见。