当犯罪嫌疑人被公安机关依法送往看守所关押之际，通常已经经历了刑事拘留或者逮捕这两个阶段。
一般而言，公安机关在决定对某位被拘留者进行逮捕时，必须在拘留期结束前的三日内，向人民检察院提交审查批准申请。
然而，在某些特定情形下，公安机关可以将提请审查批准的日期延长一日至四日。
针对那些流窜作案、频繁作案以及有组织作案的严重犯罪嫌疑人，公安机关可以将提请审查批准的日期延长至三十日。
然而，值得注意的是，逮捕后的侦查羁押期限不得超过两个月。
若案件情节复杂且期限届满仍无法完成调查工作，则可经过上级人民检察院的批准，将侦查羁押期限延长一个月。
然而，具体的时间安排还需依据案件的复杂程度及实际情况来综合判断。