依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条之明文规定，公安部门若对某位被依法拘留之人，若经判断需予以逮捕，则应在拘留期结束之前的三日内，向人民检察院提交审查批准申请。在某些特定情形之下，提请审查批准的期限可延长至一日到四日之间。而针对那些流窜作案、频繁作案以及集体作案的重大犯罪嫌疑人，其提请审查批准的期限则可延长至三十天。人民检察院应在收到公安部门提交的批准逮捕申请书之后的七日内，做出批准逮捕或不予批准逮捕的决定。因此，若某人因实施打砸行为而遭受刑事拘留，其是否会留下案底，主要取决于后续的法律程序。若该人最终被逮捕且被判定有罪，那么他将会拥有一份案底记录。反之，若在审查批准逮捕的过程中，人民检察院决定不予批准逮捕，那么此人便有可能获得释放，从而避免留下案底。
然而，若此人最终仍被逮捕并被判定有罪，那么他将不可避免地拥有一份案底记录。
值得我们注意的是，刑事拘留本身并非等同于定罪，只有在经历了法律程序并由法院做出有罪判决之后，才能真正留下案底。因此，是否会留下案底，关键在于案件的具体进展情况及法院的最终判决结果。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。”