依据相关法律法规，在当事人遭遇刑事拘留之后，其亲属或律师可随时向当地司法机关提出取保候审的请求。
然而，能否得到批准仍需结合实际情况进行综合考虑和评估。
例如，若犯罪行为相对轻微，犯罪嫌疑人有望被判处管制、拘役或者独立适用附加刑；
或者犯罪嫌疑人患有严重疾病，生活无法自理，亦或是正处于孕期或哺乳期的妇女，采取取保候审措施不会对社会造成明显危害时，那么获得批准的可能性便会相应增大。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。