关于在遭受刑事拘留后申请取保候审之期限并无明文规定，然而实践中多为在拘押期满前三十七日内进行申请。
刑事拘留作为一种临时性的紧急强制措施，其目的在于保障司法程序的顺利进行以及保证犯罪嫌疑人的合法权益。
因此，若案件情况相对简单且犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属或辩护人均可于犯罪嫌疑人被拘留当日起向办案机构提交取保候审申请。
此后，由办案机关根据案件具体情况及犯罪嫌疑人可能存在的社会危害程度做出综合评估，以确定能否同意授予取保候审权。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。