在涉及刑事案件的司法程序中，有数个关键阶段都可向有关部门提出取保候审的申请。
首先，在侦查阶段，当公安机关正在对案件进行深入调查并将犯罪嫌疑人羁押时，该犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属以及辩护律师均享有申请取保候审的权利。
其次，在审查起诉阶段，当人民检察院对案件进行全面审查并将犯罪嫌疑人羁押时，同样地，该犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属以及辩护律师也拥有申请取保候审的权利。
最后，在审判阶段，当人民法院对案件进行公开审理并将被告人羁押时，被告人及其法定代理人、近亲属以及辩护律师同样享有申请取保候审的权利。
然而，值得我们注意的是，取保候审的申请能否得到批准，还需结合案件的具体情况以及犯罪嫌疑人或被告人的社会危害性等多方面因素进行综合评估与判断。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。