依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条之相关规定，在刑事拘留时间达到31天之后，倘若犯罪嫌疑人或被告人均能满足该条款所述的任何一项情形，例如他们可能会被判处管制、拘役或者独立适用的附加刑，亦或是可能被判处有期徒刑以上的刑罚但同时也有理由相信他们在取保候审期间不会对社会造成危害，又或者他们身患严重疾病、生活无法自理、正处于孕期或者正在哺乳自己的婴儿并且同样有理由相信他们在取保候审期间不会对社会造成危害，再者就是他们的羁押期限已经届满、案件尚未得到妥善处理且仍需进行取保候审等情况下，均可向司法机关提出取保候审的申请。因此，在刑事拘留31天之后，只要符合上述任何一种情形，都是有资格申请取保候审的。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。”