被羁押的嫌疑人之亲属可依循以下步骤发起取保候审申请程序：
1.首先，亲属应为嫌疑人寻找具有专业资质的辩护律师，由律师代为主导完成取保候审手续的办理工作。
2.紧随其后，辩护律师需着手准备证明嫌疑人数值信息及犯罪事实描述等相关文书资料。
此外，还需提供嫌疑人亲属之经济状况凭证以供审计。
3.在完成上述准备事项之后，辩护律师将向负责案件侦办的机构递交书面申请，同时提出采用保证人或缴纳保证金两种方式作为担保措施。
4.最后，侦查机构在对申请进行全面审查后，如认定嫌疑人不会逃避侦查，且其行为不会妨碍刑事诉讼进程，则有可能批准取保候审请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。