在面临保险公司拒绝赔付的困境时，公众有无权力要求保险公司支付相应的利息呢？这一问题通常需要根据所涉及的具体情况由法官独立作出判决。从普遍意义上讲，仅当保险公司确实负有支付赔款的法定义务，或者投保方并未严重违反保险合同约定的条件时，才能通过法律途径向保险公司主张支付利息的赔偿权益。倘若保险公司拒绝履行全部或部分的赔付责任，抑或发生了延迟赔付的现象，那么受到影响的消费者们便可考虑聘请律师进行诉讼活动，并在诉讼过程中提出包含利息支付在内的赔偿诉求。
然而，在此必须强调的是，利息的实际获得仍然要以法官最终的裁定为准。另一方面，如果保险公司所作的拒赔决定具备合理性的基础，即在保险事故中，被保险人所面临的风险程度未能达到保险条款中所设定的理赔标准，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至可能连已缴付的保费都无法全额退还。

《中华人民共和国保险法》第十三条投保人提出保险要求，经保险人同意承保，保险合同成立。保险人应当及时向投保人签发保险单或者其他保险凭证。保险单或者其他保险凭证应当载明当事人双方约定的合同内容。当事人也可以约定采用其他书面形式载明合同内容。依法成立的保险合同，自成立时生效。投保人和保险人可以对合同的效力约定附条件或者附期限。第十四条保险合同成立后，投保人按照约定交付保险费，保险人按照约定的时间开始承担保险责任。