在刑事拘留期间逾越了37个日夜之后，公安机关会依据案件的实际情节对案情进行深入的分析与评估，从而作出相应的决策。
如果公安机关经过详尽调查和理性判断，确认犯罪证据确凿有力，将会向检察院提出正式申请，请求批准逮捕涉案人员；
若检察院批准逮捕，则该案件将进入下一阶段的侦查工作。
反之，若检察院未予批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放犯罪嫌疑人，并将执行结果及时通报给检察院。
而对于那些仍需进一步侦查，且符合取保候审或监视居住条件的案件，公安机关将依法采取相应措施，确保案件的顺利推进。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。