根据我国现行法律法规的相关规定，刑事拘留期间侦查人员进行提审时，应当遵循以下严密的程序要求：首要的是，提审环节必须有两名或以上具有执法资格的侦查人员参与其中，并且需要向被提审者展示其职务相关证件以证实其身份。
其次，提审活动本身应当严格限定于法定的办案场所内进行，以确保整个场合的环境和条件符合相关法律法规的规定。
然后在进行提审的过程中，侦查人员须依法履行职责，向犯罪嫌疑人明确告知其所拥有的各项基本权利以及可能面临的义务，例如享有申请回避的权利、若如实供述自身罪行可获得从轻处罚等等。
此外，侦查人员在提问与回答的过程中也要严格遵守相关程序，使用简洁明了、明确无误的语言询问被提审人，同时严禁采用任何形式的刑讯逼供等违法手段获取口供。
接下来，对于提审的整个流程，侦查机关均需制作详细的笔录以备查阅，这份笔录将如实记录下犯罪嫌疑人的供述及辩护意见。
待犯罪嫌疑人核实笔录内容无异议之后，便应当完成签名及捺指印的手续。
最后，整个提审过程都要严格遵守相关法律法规的规定，确保程序的合法性，从而切实维护犯罪嫌疑人的合法权益不受侵犯。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十六条
【拘留的期限】公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当拘留的时候，必须立即释放，发给释放证明。