根据我国《刑事诉讼法》的明确规定，涉嫌寻衅滋事罪行的被告人在被依法进行侦查期间，其被拘留的期限不得超过三十七日。该限制源于我国对刑事案件侦查程序的严谨设定，即在侦查阶段，对于那些可能会被判处有期徒刑以上刑罚的犯罪嫌疑人，其被拘留的最长期限为三十天；而在此之后，检察机关需要对其是否符合逮捕条件进行审查并作出决定，这个过程所耗费的时间最长也仅有七天。因此，总计下来，被告人在整个刑事拘留和逮捕过程中所能承受的最长时间为三十七天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。