首先，当发生交通事故时，驾驶员应当立即与自身所投保的保险公司取得联系，详细报告事件经过及相关信息，以便保险公司派遣专业理赔人员展开深入调查并依据事故实际状况来评估具体的赔偿额度。
尽管在这种情况下，对方车主可能没有购买或者已超过保险期限，但公司仍有可能基于本公司的保险条款为驾驶员提供相应的赔偿服务。
除此之外，驾驶员也可考虑采取法律手段来解决这一问题。
若对方车主的过失行为显著且给驾驶员带来了实质性的经济损失，驾驶员有权选择对其提起诉讼，请求法庭判定其承担相应的赔偿责任。
在此过程中，法院将依据事实证据以及相关法律法规来裁定最终的赔偿金额。

《保险法》
第二十四条
保险人依照本法第二十三条的规定作出核定后，对不属于保险责任的，应当自作出核定之日起三日内向被保险人或者受益人发出拒绝赔偿或者拒绝给付保险金通知书，并说明理由。
第二十五条
保险人自收到赔偿或者给付保险金的请求和有关证明、资料之日起六十日内，对其赔偿或者给付保险金的数额不能确定的，应当根据已有证明和资料可以确定的数额先予支付；保险人最终确定赔偿或者给付保险金的数额后，应当支付相应的差额。