通常情况下，当保险公司应当承担起赔偿责任时，抑或是投保人并未严重违反保险合同中的相关规定时，才能通过法律途径向保险公司主张支付利息的赔偿金。
倘若保险公司拒绝履行其全部或部分的赔偿责任，甚至发生延迟赔付的现象，那么受到影响的消费者们便可考虑聘请律师，启动诉讼程序，并在诉讼过程中提出包含利息支付在内的赔偿要求。

《中华人民共和国保险法》第十三条投保人提出保险要求，经保险人同意承保，保险合同成立。保险人应当及时向投保人签发保险单或者其他保险凭证。保险单或者其他保险凭证应当载明当事人双方约定的合同内容。当事人也可以约定采用其他书面形式载明合同内容。依法成立的保险合同，自成立时生效。投保人和保险人可以对合同的效力约定附条件或者附期限。第十四条保险合同成立后，投保人按照约定交付保险费，保险人按照约定的时间开始承担保险责任。