当挂车驾驶员遭遇严重的侧翻事故造成经济损失并且保险公司对其申请的理赔作出拒绝回应的时候，该驾驶员可以依据以下严谨而专业的步骤向保险公司发起法律诉讼：
首先，驾驶员需要做好充分的证据准备工作，包括收集并整理事故现场的照片与视频资料，详细记录维修费用的具体明细，以及保险合同的相关条款，同时还需获取保险公司出具的拒赔通知等关键性文件。
其次，根据我国《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，驾驶员有权选择在事故发生地或被告方所在地的人民法院提起诉讼。接下来，驾驶员需要着手起草一份详尽的诉讼状，明确原告（即挂车驾驶员本人）及被告（即保险公司）的身份信息，详细阐述事故发生的经过以及理赔被拒的原因，并在此基础上提出合理的赔偿要求。
然后，驾驶员应将精心撰写的诉讼状连同所有相关的证据材料一起提交至具有管辖权的人民法院。
最后，驾驶员需要积极配合法院的各项程序安排，如参加庭审，提供有力的证据支持，并在法庭上展开激烈的辩论。

《中华人民共和国民事诉讼法》第二十五条
因保险合同纠纷提起的诉讼，由被告住所地或者保险标的物所在地人民法院管辖。