在遭遇交通事故起诉之后，保险公司通常应当承担以下的赔偿责任：
首先是医疗费用部分，根据相关医疗机构所出具的正式收款收据来确切进行确认；
其次是误工费用，这需要依据受害者实际的误工时长和其收入水平，综合考虑进行评估；
再次是交通费用部分，主要参考受害人和其陪护人员在因就医或转院治疗过程中所实际产生的交通开支进行计算；
最后还包括了护理费用、住宿费用等多种费用内容。

《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。